信号与系统-频域分析
辛勤的蜜蜂永没有时间悲哀。——布莱克
摘要
本文对信号与系统的频域分析进行学习分享以及记录。
周期信号
对周期信号做频谱分析，采用的工具是—傅里叶级数（FS）
频谱的横坐标是\(\omega_0\)，但它的频谱是离散谱。
傅里叶级数通俗点解释就是：用很多很多个相同的、已知的函数（比如：\(e^{t}\)或者\(\sin(t)\)、\(\cos(t)\)）的叠加，形成一个周期函数。
1.(虚)指数表示
傅里叶级数指数表示，公式如下： \[ \tilde{x}\small(t\small) = \sum^{+\infty}_{n=-\infty} C_ne^{n\omega_0t}\text{\quad\quad}(1) \] 上面的式子，解释起来，就是由很多个指数函数\(e^{n\omega_0 t}\)，乘上一个加权值：\(C_n\)，然后再叠加在一起，形成的\(x\small(t\small)\)。
其中，我们把\(C_n\)称作频谱。 \(C_n\)是复数。 \[ C_n = \frac{1}{T_0}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}\ \tilde{x}\small(t\small)\ e^{jn\omega_0t}\text{\quad\quad}(2) \]
- 上面两个式子总是成对出现；
- 傅里叶计数优点：理论简单、简洁；
- 缺点：得到的值是复数，实验过程中难以通过测量得到值。（实验仪器只能测实数）
2.三角形式
由刚刚我们知道，指数形式有很多优点，但是也有缺点：理论得出的值不好实验表示。
于是我们必须通过其他的方法来解决这个问题：欧拉公式~秒了！
回顾一下小学三年级学过的欧拉公式： \[ e^ {ix}= (\cos x+i·\sin x)\text{\quad\quad}(3) \] 如果不会，在自己看百度。（链接贴这里了，自己看）
回到三角形式，我们知道欧拉公式可以展开成三角形式，所以公式（1）就可以变成： \[ \tilde{x}\small(t\small) = \sum^{+\infty}_{n=0} \big[a_n·\cos(n\omega_0t)+b_n·\sin(n\omega_0t) \big]\text{\quad\quad}(4) \] 当然，也可以写成直流+交流的形式： \[ \tilde{x}\small(t\small) =a_0 +\sum^{+\infty}_{n=1} \big[a_n·\cos(n\omega_0t)+b_n·\sin(n\omega_0t) \big]\text{\quad\quad}(5) \] 所以，我们其实还可以通过欧拉公式变化，得到一个公式： \[ C_n = \frac{a_n-j·b_n}{2}\text{\quad\quad}(6) \] 同时我们能变化\(C_n\)得到： \[ C_n=|C_n|·e^{j\varphi_n}\text{\quad\quad}(7) \] 其中，\(|C_n|\)我们称其为幅度，他画的图叫幅度函数；\(\varphi_n\)称其为相位，画的图叫相位函数。
本质上，它们两个构成了频谱，分析频谱，其实就是分析这两个东西。
我们看到公式（5），发现经过变换后，公式里面已经没有复数。只有系数\(a_n、b_n\)还没确定，对里面的两个系数进行求解，公式如下： \[ \begin{cases} a_n = \frac{2}{T_0}\int^{t+T}_{t}\tilde{x}\small(t\small)\cos(\omega_0nt)·dt\\ b_n = \frac{2}{T_0}\int^{t+T}_{t}\tilde{x}\small(t\small)\sin(\omega_0nt)·dt\\ a_0 = \frac{1}{T_0}\int^{t+T}_{t}\tilde{x}\small(t\small)·dt\ \end{cases}\text{\quad\quad}(8) \]
3.频谱特点
- 离散型
- 发散性
- 有效带宽
4.周期展开
具有对称特性的傅里叶级数。
我们对具有特定性质的周期，可以通过数学特性，减少计算量。
1.偶对称
- 形式：\(\tilde{x}(t) = \tilde{x}(-t)\)
偶对称关于y轴对称，所以只需要计算一半的周期即可。 \[ \begin{cases} a_n = \frac{4}{T_0}\int^{t+T}_{t}\tilde{x}\small(t\small)\cos(\omega_0nt)·dt\\ b_n=0 \end{cases}\text{\quad\quad}(9) \]
- 含有直流和余弦项，不含有正弦项。
2.奇对称
- 形式：\(\tilde{x}(t) = -\tilde{x}(-t)\)
奇对称关于原点对称，所以只需要计算一半的周期即可。 \[ \begin{cases} a_n = 0\\ b_n= \frac{4}{T_0}\int^{t+T}_{t}\tilde{x}\small(t\small)\sin(\omega_0nt)·dt \end{cases}\text{\quad\quad}(10) \]
- 含有正弦项，不含有余弦项和直流分量
3.半波重叠
- 形式：\(\tilde{x}(t) = \tilde{x}(t+\frac{T_0}{2})\)
- 一个周期\(T_0\)内，刚好存在两个一模一样的周期\(T_1\)波。
\[ C_n = \frac{2}{T_0}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}\ \tilde{x}\small(t\small)\ e^{j2n\omega_0t}\ dt\text{\quad\quad}(11) \]
- 只含有偶次分量，可能有直流分量。
4.半波镜像
- 形式：\(\tilde{x}(t) = -\tilde{x}(t\pm\frac{T_0}{2})\)
- 令\(\tilde{x}\small(t\small) =\tilde{x}_1\small(t\small)-\tilde{x}\small(t-\frac{T_0}{2} \small)\) 得到：
\[ \tilde{x}_1\small(t\small)+\tilde{x}_1\small(t-\frac{T_0}{2}\small) = \sum^{+\infty}_{n=-\infty,n为奇} 2C_ne^{-n\omega_0t}\text{\quad\quad}(12) \]
- 保留奇次谐波分量，无直流。